排序嵌入在群作用下保持稳定，仅当能区分轨道时成立。
Stability of sorting based embeddings
- 基于排序的嵌入方法通过线性映射处理不变量特征。
- 嵌入满足双利普希茨条件当且仅当能分离不同轨道。
- 适用于不变量学习，尤其适合对称结构数据建模。
考虑一个阶为 $M$ 的群 $G$ 在实内积空间 $V$ 上的酉作用。我们证明，通过对不变量映射 $β_Φ: V \to \mathbb{R}^{M imes N}$（该映射通过排序坐标轨 $(\langle v, g ϕ_i \rangle_V)_{g \in G}$ 得到）应用一般线性映射 $α: \mathbb{R}^{M \times N} \to \mathbb{R}^D$ 所获得的排序嵌入，其满足双利普希茨条件当且仅当它能分离轨道。此外，任何进入希尔伯特空间的不变量利普希茨连续映射都可通过该排序嵌入实现因子分解；同样，任何进入局部凸空间的不变量连续映射也可通过该嵌入实现因子分解。
原文摘要 · Abstract (English)
Consider a group $G$ of order $M$ acting unitarily on a real inner product space $V$. We show that the sorting based embedding obtained by applying a general linear map $α: \mathbb{R}^{M \times N} \to \mathbb{R}^D$ to the invariant map $β_Φ: V \to \mathbb{R}^{M \times N}$ given by sorting the coorbits $(\langle v, g ϕ_i \rangle_V)_{g \in G}$, where $(ϕ_i)_{i=1}^N \in V$, satisfies a bi-Lipschitz condition if and only if it separates orbits. Additionally, we note that any invariant Lipschitz continuous map (into a Hilbert space) factors through the sorting based embedding, and that any invariant continuous map (into a locally convex space) factors through the sorting based embedding as well.
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