用霍奇拉普拉斯算子提取高维数据拓扑特征，拓展了降维方法的表达能力。
Hodge Laplacians and Hodge Diffusion Maps
- 通过近似外微分算子构建霍奇扩散映射，实现对微分形式的拓扑分析
- 在真实流形上采样点分布条件下，给出了外微分逼近误差的理论估计
- 适合研究复杂拓扑结构的数据，如生物医学或神经科学中的高维数据
我们提出霍奇扩散映射（Hodge Diffusion Maps），一种用于分析和提取高维数据集拓扑信息的新颖流形学习算法。该方法通过近似作用于微分形式的外微分算子，进而提供霍奇拉普拉斯算子的近似。霍奇扩散映射扩展了现有的非线性降维技术，包括向量扩散映射，以及扩散映射和拉普拉斯特征映射的理论框架。我们的方法通过使用霍奇拉普拉斯算子将数据投影到低维欧氏空间，捕捉数据集的高阶拓扑特性。我们建立了一个理论框架，基于分布在真实流形上的样本点，对外微分的逼近误差进行估计。数值实验支持并验证了所提出的方法。
原文摘要 · Abstract (English)
We introduce Hodge Diffusion Maps, a novel manifold learning algorithm designed to analyze and extract topological information from high-dimensional data-sets. This method approximates the exterior derivative acting on differential forms, thereby providing an approximation of the Hodge Laplacian operator. Hodge Diffusion Maps extend existing non-linear dimensionality reduction techniques, including vector diffusion maps, as well as the theories behind diffusion maps and Laplacian Eigenmaps. Our approach captures higher-order topological features of the data-set by projecting it into lower-dimensional Euclidean spaces using the Hodge Laplacian. We develop a theoretical framework to estimate the approximation error of the exterior derivative, based on sample points distributed over a real manifold. Numerical experiments support and validate the proposed methodology.
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