提出一种无偏低秩矩阵近似算法，可最小化误差期望。
On Unbiased Low-Rank Approximation with Minimum Distortion
- 基于矩阵奇异分解，对各分量进行随机采样构造低秩矩阵。
- 在秩不超过r的约束下，误差期望达到理论下界。
- 适合需要精确控制误差分布的数值计算场景。
我们提出一种采样低秩随机矩阵 $Q$ 的算法，使其在以下意义下最优逼近固定目标矩阵 $PiginbC^{n imes m}$：$Q$ 无偏，即 $bE[Q] = P$；$ ank(Q)less r$；且最小化期望弗罗贝尼乌斯范数误差 $bEnorm{P-Q}_F^2$。该算法模仿向量无偏稀疏化问题的解法，但应用于矩阵 $P$ 的奇异分量。通过证明其误差与现有下界一致，证实了算法的最优性。
原文摘要 · Abstract (English)
We describe an algorithm for sampling a low-rank random matrix $Q$ that best approximates a fixed target matrix $P\in\mathbb{C}^{n\times m}$ in the following sense: $Q$ is unbiased, i.e., $\mathbb{E}[Q] = P$; $\mathsf{rank}(Q)\leq r$; and $Q$ minimizes the expected Frobenius norm error $\mathbb{E}\|P-Q\|_F^2$. Our algorithm mirrors the solution to the efficient unbiased sparsification problem for vectors, except applied to the singular components of the matrix $P$. Optimality is proven by showing that our algorithm matches the error from an existing lower bound.
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