用机器学习与计算方法研究二维射影空间上三次满射有理自映射的分类。
Computations and ML for surjective rational maps
- 结合编程与机器学习，探索具有非正则性点的三次有理自映射。
- 证明一般非正则三次自映射是满射当且仅当其奇点集至少含3个点。
- 适合代数几何与计算数学方向的研究者阅读。
本文研究定义在二维射影空间上的满射有理自映射 $f: bP^2 o bP^2$，其为三次形式且奇点集 $I_f$ 非空。通过基于 Python 编程与机器学习的实验方法，实现了此类映射的分类，并构造出若干新的显式例子。同时，借助纯射影几何证明：一般的非正则三次自映射 $f$ 是满射，当且仅当其奇点集 $I_f$ 的基数至少为 3。
原文摘要 · Abstract (English)
The present note studies \emph{surjective rational endomorphisms} $f: \mathbb{P}^2 \dashrightarrow \mathbb{P}^2$ with \emph{cubic} terms and the indeterminacy locus $I_f \ne \emptyset$. We develop an experimental approach, based on some Python programming and Machine Learning, towards the classification of such maps; a couple of new explicit $f$ is constructed in this way. We also prove (via pure projective geometry) that a general non-regular cubic endomorphism $f$ of $\mathbb{P}^2$ is surjective if and only if the set $I_f$ has cardinality at least $3$.
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