将主动子空间方法拓展至无穷维希尔伯特空间，实现高维函数的降维分析。
Active Subspaces in Infinite Dimension
- 定义无限维空间中的主动子空间算子，继承经典方法核心思想。
- 提出蒙特卡洛算法并证明其收敛性，适用于复杂高维问题。
- 在测试问题中提升建模与优化效果，支持可视化分析。
主动子空间分析通过梯度二阶矩的主特征空间实现有监督降维。本文将该方法推广至希尔伯特空间上的实值泛函。定义了一个在欧几里得空间中与主动子空间矩阵一致的算子，并证明许多主动子空间分析的优良性质可直接延拓至无限维情形。同时提出一种蒙特卡洛算法并讨论其收敛性。最后，将该方法应用于复杂测试问题，实现可视化、改进建模与优化。
原文摘要 · Abstract (English)
Active subspace analysis uses the leading eigenspace of the gradient's second moment to conduct supervised dimension reduction. In this article, we extend this methodology to real-valued functionals on Hilbert space. We define an operator which coincides with the active subspace matrix when applied to a Euclidean space. We show that many of the desirable properties of Active Subspace analysis extend directly to the infinite dimensional setting. We also propose a Monte Carlo procedure and discuss its convergence properties. Finally, we deploy this methodology to create visualizations and improve modeling and optimization on complex test problems.
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