用拓扑保持神经网络构建李雅普诺夫函数，实现可证明的系统稳定性分析。
Constructive Lyapunov Functions via Topology-Preserving Neural Networks
- 基于拓扑保持的神经网络构造李雅普诺夫函数，确保系统稳定性。
- 在300万节点语义网络上实现99.75%性能提升，收敛率μ=3.2×10⁻⁴。
- 适用于神经网络、机器人与分布式系统的稳定性设计与优化。
我们证明了ONN在收敛速度（μ∝λ₂）、边效率（最小连接度k=2时E=N）和计算复杂度（O(N d²)）方面达到阶最优。在300万节点语义网络上的实证验证显示，相比基线方法性能提升99.75%，证实了指数收敛（μ=3.2×10⁻⁴）与拓扑保持。将ORTSF集成至Transformer，在WikiText-103上实现14.7%困惑度降低与2.3倍加速收敛。本文建立与最优控制（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程）、信息几何（费雪高效自然梯度）、拓扑数据分析（持久同调在O(KN)内计算）、离散几何（里奇流）及范畴论（伴随函子）的深层关联。本工作将马瑟拉的抽象存在性定理转化为具可证明保证的可扩展算法，为神经网络、机器人与分布式系统的构造性稳定分析开辟新路径。
原文摘要 · Abstract (English)
We prove that ONN achieves order-optimal performance on convergence rate ($μ\propto λ_2$), edge efficiency ($E = N$ for minimal connectivity $k = 2$), and computational complexity ($O(N d^2)$). Empirical validation on 3M-node semantic networks demonstrates 99.75\% improvement over baseline methods, confirming exponential convergence ($μ= 3.2 \times 10^{-4}$) and topology preservation. ORTSF integration into transformers achieves 14.7\% perplexity reduction and 2.3 faster convergence on WikiText-103. We establish deep connections to optimal control (Hamilton-Jacobi-Bellman), information geometry (Fisher-efficient natural gradient), topological data analysis (persistent homology computation in $O(KN)$), discrete geometry (Ricci flow), and category theory (adjoint functors). This work transforms Massera's abstract existence theorem into a concrete, scalable algorithm with provable guarantees, opening pathways for constructive stability analysis in neural networks, robotics, and distributed systems.
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