将流匹配推广到无限维函数空间，实现高效生成时间序列与3D几何等数据。
Functional Mean Flow in Hilbert Space
- 在希尔伯特空间定义一阶段函数流匹配，理论完备且可高效训练采样。
- 提出x1预测变体，相比原u预测更稳定，提升生成质量。
- 适用于时间序列、图像、偏微分方程和3D几何等函数型数据生成任务。
我们提出函数均值流（Functional Mean Flow, FMF），一种定义在无限维希尔伯特空间中的一阶段生成模型。FMF通过提供函数流匹配的理论形式和高效的训练采样实现，将一阶段均值流框架拓展至函数域。我们还引入x₁-预测变体，相较于原始u-预测形式具有更高的稳定性。该框架是一种实用的一阶段流匹配方法，适用于广泛的功能型数据生成任务，如时间序列、图像、偏微分方程及3D几何生成。
原文摘要 · Abstract (English)
We present Functional Mean Flow (FMF) as a one-step generative model defined in infinite-dimensional Hilbert space. FMF extends the one-step Mean Flow framework to functional domains by providing a theoretical formulation for Functional Flow Matching and a practical implementation for efficient training and sampling. We also introduce an $x_1$-prediction variant that improves stability over the original $u$-prediction form. The resulting framework is a practical one-step Flow Matching method applicable to a wide range of functional data generation tasks such as time series, images, PDEs, and 3D geometry.
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