揭示了平衡混合中峰度对比度随维度衰减的1/R规律，解释了传统方法失效原因。
A 1/R Law for Kurtosis Contrast in Balanced Mixtures
- 提出有效宽度R下峰度衰减的1/R理论，证明其紧致性
- 在样本量T条件下，突破1/√T估计精度需R≤κ_max√T
- 通过符号一致源筛选可恢复与维数无关的对比度，适合高维信号分离
基于峰度的独立成分分析在宽且平衡的混合中性能下降。我们证明了一个精确的冗余定律：对于标准化投影，其有效宽度$R_{\mathrm{eff}}$（参与度比），总体超额峰度满足$|κ(y)|=O(κ_{\max}/R_{\mathrm{eff}})$，在平衡条件下给出紧致的$O(c_bκ_{\max}/R)$界（通常$c_b=O(\log R)$）。作为不可能性判据，在样本峰度估计的标准有限矩条件下，超越$O(1/\sqrt{T})$估计尺度需满足$R\lesssim κ_{\max}\sqrt{T}$。此外，我们证明了‘净化’——选取$m\ll R$个符号一致源——可恢复与$R$无关的对比度$Ω(1/m)$，并提出简单数据驱动启发式方法。合成实验验证了预测的衰减规律、√T转折点及对比度恢复。
原文摘要 · Abstract (English)
Kurtosis-based Independent Component Analysis (ICA) weakens in wide, balanced mixtures. We prove a sharp redundancy law: for a standardized projection with effective width $R_{\mathrm{eff}}$ (participation ratio), the population excess kurtosis obeys $|κ(y)|=O(κ_{\max}/R_{\mathrm{eff}})$, yielding the order-tight $O(c_bκ_{\max}/R)$ under balance (typically $c_b=O(\log R)$). As an impossibility screen, under standard finite-moment conditions for sample kurtosis estimation, surpassing the $O(1/\sqrt{T})$ estimation scale requires $R\lesssim κ_{\max}\sqrt{T}$. We also show that \emph{purification} -- selecting $m\!\ll\!R$ sign-consistent sources -- restores $R$-independent contrast $Ω(1/m)$, with a simple data-driven heuristic. Synthetic experiments validate the predicted decay, the $\sqrt{T}$ crossover, and contrast recovery.
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