将复杂几何学习中的对称性问题简化为更易处理的子群问题。
Generalized Reduction to the Isotropy for Flexible Equivariant Neural Fields
- 利用群作用的传递性，将全局对称性转化为局部子群对称性。
- 建立商空间等价关系，保持模型表达能力不变。
- 适用于任意群作用和条件空间，突破现有方法限制。
许多几何学习问题需要在异质乘积空间（即不同空间的乘积，各自携带不同的群作用）上定义不变量，而标准方法无法直接应用。当群 $G$ 在空间 $M$ 上传递作用时，我们证明：$X \times M$ 上的任何 $G$-不变函数均可简化为 $X$ 上由 $M$ 的各向同性子群 $H$ 作用的不变函数。该方法建立了显式的轨道等价 $(X \times M)/G \cong X/H$，提供了一个保持表达能力的合理化降维。我们将此结果应用于等变神经场，使其可支持任意群作用和齐性条件空间，从而消除了现有方法的主要结构限制。
原文摘要 · Abstract (English)
Many geometric learning problems require invariants on heterogeneous product spaces, i.e., products of distinct spaces carrying different group actions, where standard techniques do not directly apply. We show that, when a group $G$ acts transitively on a space $M$, any $G$-invariant function on a product space $X \times M$ can be reduced to an invariant of the isotropy subgroup $H$ of $M$ acting on $X$ alone. Our approach establishes an explicit orbit equivalence $(X \times M)/G \cong X/H$, yielding a principled reduction that preserves expressivity. We apply this characterization to Equivariant Neural Fields, extending them to arbitrary group actions and homogeneous conditioning spaces, and thereby removing the major structural constraints imposed by existing methods.
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