证明了向量三个范数间的最优不等式关系。
A Determinantal Approach to a Sharp $\ell^1-\ell^\infty-\ell^2$ Norm Inequality
- 利用参数化二次型的行列式结构进行线性代数推导。
- 给出的常数 (1+√p)/2 是紧致最优的。
- 适合研究优化与数值分析的学者参考。
我们给出了一个简洁的线性代数证明，验证了对任意向量 x∈ℝ^p，不等式 ‖x‖₁‖x‖∞ ≤ (1+√p)/2 ‖x‖₂² 成立。该不等式关联了有限维空间中三种基本范数，在优化与数值分析中有应用价值。我们的证明利用了参数化二次型族的行列式结构，并表明常数 (1+√p)/2 是最优的。
原文摘要 · Abstract (English)
We give a short linear--algebraic proof of the inequality \[ \|x\|_1\,\|x\|_\infty \le \frac{1+\sqrt{p}}{2}\,\|x\|_2^2, \] valid for every \(x\in\mathbb{R}^p\). This inequality relates three fundamental norms on finite-dimensional spaces and has applications in optimization and numerical analysis. Our proof exploits the determinantal structure of a parametrized family of quadratic forms, and we show the constant $(1+\sqrt{p})/2$ is optimal.
Thank you to arXiv for use of its open access interoperability. PaperDance 不是 arXiv 官方产品；中文卡片由大模型生成，请以原文为准。