推翻了关于矩阵范数的著名猜想，并在特定条件下给出了正确结论。
A Counterexample to the Tang Zhang Schatten Norm Conjecture and Sharp Positive Results
- 用反例推翻了关于Schatten范数的猜想，验证了严格不等式
- 证明了秩至多为1的矩阵在2≤p<∞时满足猜想的最优界
- 适用于研究矩阵不等式或泛函分析的数学研究人员
对于m≥2，c_p(m)表示如下不等式中所有维度下的最优常数：‖∑A_k‖_p ≤ c_p(m)‖∑|A_k|‖_p。Tang和Zhang对每个有限p>1提出了一个显式公式。本文通过两个显式的2×2实秩一矩阵，在p=3/2时反证了该猜想。该对比经由七个严格的有理不等式验证，所达到的比值高于207/200，而猜想中的常数低于207/200。在正面结果方面，我们证明了当2≤p<∞且求和项秩至多为1时，猜想的最优界成立，并分类了所有等号成立情形。还证明了p=∞时的对应端点结论。最后，对于任意复矩阵，我们在m=2、p=4时建立了猜想的最优常数。
原文摘要 · Abstract (English)
For $m\geq 2$, let $c_p(m)$ be the all-dimensional best constant in $$ \left\|\sum_{k=1}^m A_k\right\|_p \leq c_p(m)\left\|\sum_{k=1}^m |A_k|\right\|_p. $$ Tang and Zhang conjectured an explicit formula for every finite $p>1$. We disprove the conjecture with two explicit real $2\times 2$ rank-one matrices at $p=3/2$. The comparison is certified by seven strict rational inequalities and, in particular, places the attained ratio above $207/200$, while the conjectured constant lies below $207/200$. On the positive side, we prove the conjectured sharp bound for every family of rank-at-most-one summands when $2\leq p<\infty$, and classify all equality cases. We also prove the corresponding endpoint statement for $p=\infty$. Finally, for arbitrary complex matrices, we establish the conjectured sharp constant in the case $m=2$, $p=4$.
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